벡터의 내적과 길이

벡터의 내적과 벡터의 길이

• 스칼라 곱(scalar multiplication)

수학에서, 스칼라곱(영어: scalar product) 또는 점곱(영어: dot product)은 유클리드 공간의 두 벡터로부터 실수 스칼라를 얻는 연산이다. 스칼라곱이 유클리드 공간의 내적을 이루므로, 이를 단순히 '내적'이라고 부르기도 한다. 스칼라곱의 개념의 물리학 배경은 주어진 힘이 주어진 변위의 물체에 가한 일을 구하는 문제이다.

• 내적(dot product)

선형대수학과 함수해석학에서, 내적 공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라 곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다.

                                    

내적을 사용하여 정의한, 두 벡터 사이의 각도의 기하학적 해석

벡터 내적의 성질 증명

코시-슈바르츠 부등식의 증명

코시 슈바르츠 부등식

프랑스의 수학자 오귀스탱루이 코시(Cauchy, Augustin-Louis)가 만들고 이후 독일의 수학자 헤르만 슈바르츠(Schwartz, Hermann)[1]가 수정한 절대부등식이다.[2] 고등학교 과정에서는 보통

$\left(a^2 + b^2 \right)\left(c^2 + d^2 \right) \ge \left(ac + bd\right) ^2$
일 때를 다루고, 일반적으로는 변수가 여러 개일 때

$\left({a_1}^2 + \cdots +{a_n}^2 \right)\left({b_1}^2 + \cdots +{b_n}^2 \right) \ge \left({a_1}{b_1} + \cdots +{a_n}{b_n} \right)^2$
의 형태 또는 적분형태

$\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)^2 dx \int_{a}^{b}g\left(x\right)^2 dx \ge \left(\int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right) dx\right)^2$
로, 확률론에서는 

$E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right) \ge E\left(XY\right)^2$
로 등장한다.

고등학교 과정에서 이걸 잠깐 보면 저 $n=2$인 경우를 양변을 빼서 완전제곱식으로 만든 다음 '에이 쉽네' 하고 넘어가겠지만, 사실 이 부등식은 수학에선 매우 중요한 부등식이다. 코시-슈바르츠 부등식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

$\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}\ge\left\vert v\cdot w\right\vert^{2}$

여기서 ∥∥는 벡터의 크기,  ⋅는 벡터의 내적이다. 물론 이 벡터는 3차원 벡터 뿐만이 아니라 선형대수학의 일반적인 내적공간의 벡터이다.

$\cdot$

이 코시-슈바르츠 부등식이 적용되는 확률론의 분산/공분산, 해석학의 

$L^{2}$

벡터의 삼각부등식(코시-슈바르츠 부등식을 활용) 

삼각 부등식은 삼각형의 세 변에 대한 부등식으로, 임의의 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다는 것이다. 이 부등식은 여러 공간에 적용된다.

벡터사이의 각도

코사인의 법칙으로부터 두 벡터 사이의 각도에 대한 공식을 얻는 방법

Rn에서 벡터의 삼각형 부등식 증명하기

10분 15 초