선형 생성

선형결합과 생성

선형결합

선형결합(linear combination) 또는 일차결합은 벡터들을 스칼라배와 벡터 덧셈을 통해 조합하여 새로운 벡터를 얻는 연산이다. 벡터 공간에서의 가장 기본적인 연산이다. $${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}에서 $${\displaystyle (7,12)^{T}=2(2,3)^{T}+3(1,2)^{T}}이며, 이는 벡터의 선형결합의 예이다.

를 체 $${\displaystyle K} 위의 벡터 공간이라고 하자. 벡터 $${\displaystyle v_{1},\cdots ,v_{n}\in V}의 계수 $${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{n}\in K}에 의한 선형(일차)결합은 다음과 같은 벡터이다.

{\displaystyle u=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}={\begin{pmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}}

선형생성

선형생성(linear span) 또는 선형포(linear hull)는 선형대수학 또는 함수해석학에서 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일 때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다. 고로 벡터들의 집합의 선형생성은 선형공간이다.

어떤 체 K에 대한 어떤 벡터공간 V가 주어졌을 때, 어떤 벡터들의 집합 S(유한집합일 필요는 없음)의 생성은 V의 S를 포함하는 모든 부분공간의 교집합 W로 정의된다. 이때 W를 S 또는 S의 벡터들에 의해 생성된 부분공간이라 한다. 역으로 S는 W의 생성집합이라 불리며, 우리는 S가 W를 생성한다고 서술한다.

달리 서술하면 S의 생성은 S의 원소들의 모든 유한선형결합의 집합으로 정의될 수 있다.

$${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}{\Big |}k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,\lambda _{i}\in \mathbf {K} }\right\}.}

만약 S가 V의 유한부분집합이면, S의 생성은 S의 원소들의 모든 선형결합의 집합이다. S가 무한집합일 경우, 무한선형결합들은 정의에 의해 배제된다.