벡터의 외적

선형대수학에서 외적이란 벡터의 텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

행렬에서의 정의

두 벡터의 외적 $${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }은 $${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}}와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, $${\displaystyle \mathbf {u} }은 실수공간 $${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}에서 정의되는 $${\displaystyle m\times 1} 열벡터, $${\displaystyle \mathbf {v} }는 $${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}에서 정의되는 $${\displaystyle n\times 1} 열벡터를 말한다. 예를 들어, $${\displaystyle m=4}, $${\displaystyle n=3}인 경우

{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}}

와 같이 외적을 쓸 수 있다.

좀 더 복잡한 복소수공간 $${\displaystyle \mathbf {C} ^{m}}과 $${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}} 에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산 $${\displaystyle \mathbf {v} ^{T}} 대신에 복소켤레전치 $${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}를 사용해

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }}

로 정의된다.

내적과의 비교

만약 $${\displaystyle m=n}이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

$${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {v} ^{\dagger }\mathbf {u} }

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라($${\displaystyle 1\times 1} 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

추상적 정의

주어진 벡터 $${\displaystyle v\in V}와 코벡터 $${\displaystyle w^{*}\in W^{*}}의 텐서곱 $${\displaystyle v\otimes w^{*}}은 동형사상 $${\displaystyle \mathrm {Hom} (W,V)=W^{*}\otimes V}하의 사상 $${\displaystyle \ A\colon W\to V\,}을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 $${\displaystyle w\in W}에 대해

$${\displaystyle A(w)\,=\,w^{*}(w)v}

로 정의된다. 여기서 $${\displaystyle h>w}로 계산된 $${\displaystyle w^{*}}로 $${\displaystyle v}와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은 $${\displaystyle \ w^{*}\colon W\to K\,} 와 $${\displaystyle \ v\colon K\to V\,} 의 합성이다.

내적과의 비교

만약 $${\displaystyle \ W=V\,}이면, 코벡터 $${\displaystyle w^{*}\in V^{*}}와 벡터 $${\displaystyle v\in V}를 $${\displaystyle V}와 $${\displaystyle V}의 쌍대의 쌍대연산 $${\displaystyle (w^{*},v)\mapsto w^{*}(v)} 를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

3차원 공간에서 벡터곱과의 관계

여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 $${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 $${\displaystyle w^{\mathbf {a} }=(w^{1},w^{2},w^{3})}와 $${\displaystyle v^{\mathbf {a} }=(v^{1},v^{2},v^{3})}의 외적은 다음과 같다.

$${\displaystyle w^{\mathbf {a} }\otimes v^{\mathbf {b} }=w^{\mathbf {a} }v^{\mathbf {b} }}

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

$${\displaystyle (w^{\mathbf {c} }\times v^{\mathbf {d} })^{\mathbf {a} }=[*\left(w^{\mathbf {c} }v^{\mathbf {d} }\right)]^{\mathbf {a} }=g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }}

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, $${\displaystyle g^{\mathbf {ab} }=\delta ^{\mathbf {ab} }}이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

{\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }&=\delta ^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }\\&=\delta ^{\mathbf {ab} }\left(\epsilon _{123}e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}\right)v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }\end{aligned}}}

여기서 $${\displaystyle e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}}를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

$${\displaystyle e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}=e_{\mathbf {b} }^{1}e_{\mathbf {c} }^{2}e_{\mathbf {d} }^{3}+e_{\mathbf {c} }^{1}e_{\mathbf {d} }^{2}e_{\mathbf {b} }^{3}+e_{\mathbf {d} }^{1}e_{\mathbf {b} }^{2}e_{\mathbf {c} }^{3}-e_{\mathbf {d} }^{1}e_{\mathbf {c} }^{2}e_{\mathbf {b} }^{3}-e_{\mathbf {b} }^{1}e_{\mathbf {d} }^{2}e_{\mathbf {c} }^{3}-e_{\mathbf {c} }^{1}e_{\mathbf {b} }^{2}e_{\mathbf {d} }^{3}}

이다. 그리고 여기에 $${\displaystyle v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }}를 곱하면

$${\displaystyle (e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3})v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }=e_{\mathbf {b} }^{1}(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e_{\mathbf {b} }^{2}(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e_{\mathbf {b} }^{3}(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})}

되고 마지막으로 $${\displaystyle \delta ^{\mathbf {ab} }\epsilon _{123}}을 곱하면

$${\displaystyle g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }=e_{1}^{\mathbf {b} }(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e_{2}^{\mathbf {b} }(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e_{3}^{\mathbf {b} }(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})}

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

벡터의 외적이란?

증명 : 외적과 각의 사인값과의 관계

내적과 외적의 비교/직관